Question

已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项 分别减去1，3，9后成等差数列．（1）

已知递增等比数列{an}的第三项、第五项、第七项的积为512，且这三项 分别减去1，3，9后成等差数列．（1）求{an}的首项和公比；（2）设Sn=a12+a22+…+an2，求Sn．

Answer 1

（1）根据等比数列的性质，可得a₃?a₅?a₇=a₅³=512，解之得a₅=8．
设数列{a_n}的公比为q，则a₃=

8

q2

，a₇=8q²，
由题设可得（

8

q2

-1）+（8q²-9）=2（8-3）=10
解之得q²=2或

1

2

．
∵{a_n}是递增数列，可得q＞1，∴q²=2，得q=

2

．
因此a₅=a₁q⁴=4a₁=8，解得a₁=2；
（2）由（1）得{a_n}的通项公式为a_n=a₁?q^n-1=2×(

2

)n?1=(

2

)n+1，
∴a_n²=[(

2

)n+1]²=2ⁿ⁺¹，
可得{a_n²}是以4为首项，公比等于2的等比数列．
因此S_n=a₁²+a₂²+…+a_n²=

4(1?2n)

1?2

=2ⁿ⁺²-4．