Question

已知递增的等比数列{an}的前三项之积为512，且这三项分别依次减去1、3、9后又成等差数列，求

（1）数列{an}的通项公式an；
（2）求证(1/a1)+(2/a2)+(3/a3)+...+(n/an)<1

Answer 1

(1)
由于前三项之积为512
所以： (a1)(a2)(a3) = (a2/q)(a2)(a2q) = (a2)³ = 512
因此：a(2)=8

且：a(1)-1, a(2)-3, a(3)-9成等差数列：
[a(1)-1] + [a(3)-9] = 2[a(2)-3]
即： a(2)/q - 1 + a(2)*q - 9 =2a(2) - 6
即： 8/q +8q -10=10
即： 2q²-5q +2=0
解出 q=2或q=1/2
而由于等比数列为递增的，所以q=2
因此a1=4, a2=8, a2=16
等比数列通项公式：
a(n) = 2^(n+1)

(2)
令
S = (1/a1)+(2/a2)+(3/a3)+...+(n/an)
= 1/4 + 2/8 + ... + (n-1)/2^n + n/2^(n+1)
则：
2S = 1/2 + 2/4 +3/8 ... + n/2^n
所以
S = 2S - S
= 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2^n - n/2^(n+1)
= (1/2)[1-1/2^n]/[1-(1/2)] - n/2^(n+1)
=1 - 1/2^n - n/2^(n+1)
=1 - (n+2)/2^(n+1)
<1

哪一步需要补充解释可以追问我