Question

（2007?武汉模拟）如图，在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AD中点，（1）求二面角E-A1C1-D1的平面角

（2007?武汉模拟）如图，在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AD中点，（1）求二面角E-A1C1-D1的平面角的余弦值；（2）求四面体B-A1C1E的体积．（3）（文） 求E点到平面A1C1B的距离（4）（文）求二面角B-A1C1-B1的平面角的余弦值．

Answer 1

（1）在边长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁，E为AD中点，在A₁D₁上取中点F．连接EF过F作FM⊥A₁C₁于A₁C₁上一点M，连接EM，则∠EMF为二面角E-A₁C₁-D₁的平面角．
在△A₁C₁D₁中，FM=

1

4

B₁D₁=

2

4

，又EF⊥FM，EF=1
∴tan∠EMF=

1

2 4

=2

2

，从而cos∠EMF=

1

3

．
∴二面角E-A₁C₁-D₁的余弦值为

1

3

（2）在平面ABCD内，延长BA到N点，使AN=

1

2

，故NE∥A₁C₁，∴NE∥面BA₁C₁
∴V_B-A1C1E=V_E-A1BC1=V_N-A1C1E=V_C1-A1BN
=

1

3

?（

1

2

?

3

2

?1）?1=

1

4

（3）（文）取DC中点F，连接EF交BD于M点，又E为AD中点，故可知EF∥A₁C₁，则EF∥面BA₁C₁，
因此E到平面BA₁C₁的距离就是M点到平面BA₁C₁的距离．
在对角面BA₁D₁D内，过M作MH⊥O₁B交OB1于H，
∵A₁C₁⊥面BB₁D₁D，则面BD₁⊥面BA₁C₁而MH⊥O₁B，则MH⊥面BA₁C₁，
又∵sin∠DBO₁=

2

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