如图,扇形OAB的半径为4,圆心角∠AOB=90?,点C是AB上异于点A、B的一动点,过点C作CD⊥OB于点D,作CE⊥OA
如图,扇形OAB的半径为4,圆心角∠AOB=90?,点C是AB上异于点A、B的一动点,过点C作CD⊥OB于点D,作CE⊥OA于点E,联结DE,过O点作OF⊥DE于点F,点...
如图,扇形OAB的半径为4,圆心角∠AOB=90?,点C是AB上异于点A、B的一动点,过点C作CD⊥OB于点D,作CE⊥OA于点E,联结DE,过O点作OF⊥DE于点F,点M为线段OD上一动点,联结MF,过点F作NF⊥MF,交OA于点N.(1)当tan∠MOF=13时,求OMNE的值;(2)设OM=x,ON=y,当OMOD=12时,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域;(3)在(2)的条件下,联结CF,当△ECF与△OFN相似时,求OD的长.
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解;(1)如图1,∵∠AOB=90?,CE⊥OA,CD⊥OB,
∴四边形ACDO是矩形,
∴DE=OC=4,
∵OF⊥DE,
∴OF2=DF?FE
∵tan∠MOF=
1 |
3 |
∴
DF |
OF |
1 |
3 |
1 |
3 |
∴OF2=
1 |
3 |
OF |
FE |
1 |
3 |
∵∠MFO+∠OFN=∠NFE+∠OFN=90°,
∴∠MFO=∠NFE,
∵∠MOF+∠ODE=∠NEF+∠ODE=90°,
∴∠MOF=∠NEF,
∴△OMF∽△ENF,
∴
OM |
NE |
OF |
EF |
1 |
3 |
OM |
NE |
1 |
3 |
(2)如图2,连接MN,
设OM=x,ON=y,
∵
OM |
OD |
1 |
2 |
∴OM=MD=MF=x,
∵∠MON=∠MFN=90°,
∴MN是∠ONF的角平分线,
∴MN是OF的中垂线,
∴ON=NF,可得∠FON=∠NFO
∵∠FON+∠NEF=∠NFO+∠NFE,
∴∠NEF=∠NFE,
∴ON=NE=NF=y,
∵DE=OC=4,
在RT△DOE中,OD2+OE2=DE2
∴(2x)2+(2y)2=42,即y2=4-x2(0<x≤2),
(3)如图3,
①∵△ECF∽△OFN
∴
OF |
ON |
EC |
EF |
利用△DOE的面积,
1 |
2 |
1 |
2 |
∵OD=2x,OE=2y,DE=4,
∴
1 |
2 |
1 |
2 |
解得,OF=xy,
∵OE=2y,
∴EF=
OE2?OF2 |
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