
四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,PA=3,∠ACB=90°.(Ⅰ)求证:BC⊥平面
四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,PA=3,∠ACB=90°.(Ⅰ)求证:BC⊥平面PAC;(Ⅱ)求二面角D-PC...
四棱锥P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,PA=3,∠ACB=90°.(Ⅰ)求证:BC⊥平面PAC;(Ⅱ)求二面角D-PC-A的平面角的余弦值.
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(Ⅰ)证明:∵PA⊥底面ABCD,BC?底面ABCD,
∴PA⊥BC,又AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,∠ACB=90°,
所以BC⊥AC,而AC∩PA=A,
所以BC⊥平面PAC;
(Ⅱ)(方法一)∵∠BAD=120°,AB∥CD,
∴∠ADC=60°,又AD=CD=1,
∴△ADC为正三角形
以A为原点,CD边的中线所在直线为x轴,直线AB为y轴,AP为z轴建立空间直角坐标系如图所示,
则A(0,0,0),P(0,0,
),D(
,?
,0),C(
,
,0),B(0,2,0),
由(1)取面PAC的法向量
=(
,?
,0),
由于AB∥CD,知AB∥面PCD,
故可设面PCD的法向量
=(x,0,1),
则
?
∴PA⊥BC,又AB∥CD,AD=CD=1,∠BAD=120°,∠ACB=90°,
所以BC⊥AC,而AC∩PA=A,
所以BC⊥平面PAC;
(Ⅱ)(方法一)∵∠BAD=120°,AB∥CD,
∴∠ADC=60°,又AD=CD=1,
∴△ADC为正三角形
以A为原点,CD边的中线所在直线为x轴,直线AB为y轴,AP为z轴建立空间直角坐标系如图所示,
则A(0,0,0),P(0,0,
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1 |
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由(1)取面PAC的法向量
BC |
| ||
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2 |
由于AB∥CD,知AB∥面PCD,
故可设面PCD的法向量
n |
则
n |
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