Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=3，∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：BC⊥平面

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，PA=3，∠ACB=90°．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角D-PC-A的平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，BC?底面ABCD，
∴PA⊥BC，又AB∥CD，AD=CD=1，∠BAD=120°，∠ACB=90°，
所以BC⊥AC，而AC∩PA=A，
所以BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）（方法一）∵∠BAD=120°，AB∥CD，
∴∠ADC=60°，又AD=CD=1，
∴△ADC为正三角形
以A为原点，CD边的中线所在直线为x轴，直线AB为y轴，AP为z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A(0，0，0)，P(0，0，

3

)，D(

3

2

，?

1

2

，0)，C(

3

2

，

1

2

，0)，B(0，2，0)，
由（1）取面PAC的法向量

BC

＝(

3

2

，?

3

2

，0)，
由于AB∥CD，知AB∥面PCD，
故可设面PCD的法向量

n

＝(x，0，1)，
则

n

?

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