Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+n（n∈N*）.（1）求数列{an}的前三项和a1

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+n（n∈N*）.（1）求数列{an}的前三项和a1，a2，a3． （2）求证：数列{an-1}为等比数列，并求出an的通项公式

Answer 1

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+n（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的前三项a1，a2，a3；
（Ⅱ）求证：数列{an-1}为等比数列，并求出{an}的通项公式．

答案
【解析】

（Ⅰ）依次令n=1，2，3，利用递推思想能求出数列{an}的前三项a1，a2，a3．
（Ⅱ）由Sn=2an+n，可知当n≥2时，Sn-1=2an-1+n-1，两式相减整理即可证明数列{an-1}为等比数列，并能求出{an}的通项公式．

【答案】

（Ⅰ）解：∵Sn=2an+n（n∈N*）．
∴a1=S1=2a1+1，
解得a1=-1，
S2=-1+a2=2a2+2，
解得a2=-3，
S3=-4+a3=2a3+3，
解得a3=-7．
（Ⅱ）证明：∵Sn=2an+n．
∴当n≥2时，Sn-1=2an-1+n-1．
两式相减可得，Sn-Sn-1=2an-2an-1+1
即an=2an-2an-1+1
∴an-1=2（an-1-1）
∵n=1时，S1=2a1+1
∴a1=-1，a1-1=-2
∴数列{an-1}是以-2为首项，以2为公比的等比数列，
∴，
∴an=1-2n．

【点评】

本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，是中档题．

Answer 2

写出s(n–1)项，然后两项相减不就好了吗？?