求解这个微分方程:y''-2y'+2y=0

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谦虚还晴好灬萨摩4700
2015-04-26 · 超过61用户采纳过TA的回答
知道答主
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y''-2y'+2y=0 令y=e^{αx}为原方程的解,代入化简可得: α^2-2α+2=0 解得:α=1+i,或α=1-i 从而原方程的通解可以表达为: y=A*e^{(1+i)x}+B*e^{(1-i)x}=e^{x}[A*e^{ix}+B*e^{-ix}] 利用e^{ix}=cosx+isinx 得:y=e^{x}[(A+B)*cosx+(A-B)i*sinx] 令A+B=C,(A-B)i=D 得原方程的通解为:y=e^{x}(C*cosx+D*sinx) 追问: 特解Y=e^{ix}=cosx+isinx,为什么要设置成这样? 回答: y=e^{x}[A*e^{ix}+B*e^{-ix}] 这里面涉及了复数,实际上可以通过系数的选择,将通解化为实数的形式 至于为什么要设成y=e^{αx}的形式,原因在于该方程是齐次方程。
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