Question

求解这个微分方程：y''-2y'+2y=0

求解这个微分方程：y''-2y'+2y=0要求要详细的解题步骤！

Answer 1

y''-2y'+2y=0 令y=e^{αx}为原方程的解，代入化简可得： α^2-2α+2=0 解得：α=1+i，或α=1-i 从而原方程的通解可以表达为： y=A*e^{(1+i)x}+B*e^{(1-i)x}=e^{x}[A*e^{ix}+B*e^{-ix}] 利用e^{ix}=cosx+isinx 得：y=e^{x}[(A+B)*cosx+(A-B)i*sinx] 令A+B=C，(A-B)i=D 得原方程的通解为：y=e^{x}(C*cosx+D*sinx) 追问： 特解Y=e^{ix}=cosx+isinx，为什么要设置成这样？ 回答： y=e^{x}[A*e^{ix}+B*e^{-ix}] 这里面涉及了复数，实际上可以通过系数的选择，将通解化为实数的形式 至于为什么要设成y=e^{αx}的形式，原因在于该方程是齐次方程。