Question

如图在三角形abc中,e,d,f分别为a b ,b c, a c 的中点,且ap垂直于bc于点p,

如图在三角形abc中,e,d,f分别为a b ,b c, a c 的中点,且ap垂直于bc于点p,求证e、p、d、p四点共圆

Answer 1

‖ 表示平行
如图：取BC中点为H
连接HF,HG并分别延长交AB于M点,交AC于N点
由于H,F均为中点
易得：
HM‖AC,HN‖AB
HF=CE/2,HG=BD/2
得到：
∠BMH=∠A
∠CNH=∠A
又：BD=CE
于是得：
HF=HG
在△HFG中即得：
∠HFG=∠HGF
即：∠PFM=∠QGN
于是在△PFM中得：
∠APQ=180°-∠BMH-∠PFM=180°-∠A-∠QGN
在△QNG中得：
∠AQP=180°-∠CNH-∠QGN=180°-∠A-∠QGN
即证得：
∠APQ=∠AQP
在△APQ中易得到：
AP=AQ