Question

设x>=0,证明（1）√(x+1)-√x=1/(2√(x+θx)) （2）证1/4<=θx<=1/2

设x>=0,证明（1）√(x+1)-√x=1/(2√(x+θx)) 其中θx是x的函数，0<θx<1
（2）证1/4<=θx<=1/2

Answer 1

1）√(x+1)-√x
=1/[√（x+1)+√x]
=1/[2√(x+θx)],
∴0<Θx<1.
2)由1),√（x+1)+√x=2√(x+Θx),
平方得2x+1+2√{x(x+1)]=4(x+Θx)
∴Θx={1-2x+2√[x(x+1)]}/4,
x>=0,∴Θx-1/4={√{x(x+1)-x]/2>=0,
Θx-1/2={-1-2x+2√[x(x+1)]}/4=-[√(x+1)-√x]^2/4<=0,
∴1/4<=Θx<=1/2.

Answer 2