Question

为什么原函数单调,可导则反函数也单调,可导

为什么原函数单调,可导则反函数也单调,可导

Answer 1

原函数单调，则反函数也单调，这是对的，直接根据单调的定义就能知道。
但是原函数可导，不代表反函数可导。
例如原函数y=f（x），其反函数为y=g（x）
就只证明f（x）是单调增函数的情况，f（x）是单调减函数可以类似证明，就不证明了。
如果y=f（x）是单调增函数，证明y=g（x）也是单调增函数。
因为y=f（x）是单调增函数，所以对于任意不相等的x1＜x2，都有f（x1）＜f（x2）
因为y=g（x）是f（x）的反函数，所以对于任意不相等的y1＜y2，都有对应的x1＜x2（因为g（x）的y就是f（x）的x；g（x）的x就是f（x）的y）
假设y=g（x）不是单调增函数，即能找到两个不相等的x3＜x4有g（x3）≥g（x4）
如果等号成立，g（x）相同的函数值对应不同的自变量，那么f（x）就会出现同一个自变量对应两个函数值，和函数的定义不符，所以等号不能成立。
如果大于号成立，那么对于g（x4）＜g（x3）这两个函数值，对应的自变量x3＞x4，于前面知道的g（x）对于任意不相等的y1＜y2，都有对应的x1＜x2的性质矛盾
所以y=g（x）必然也是单调增函数。
当y=f（x）是单调减函数时，也可以类似证明反函数y=g（x）也是单调减函数。
y=x³这函数在全体实数范围内都是可导的。
它的反函数y=x的立方根，在x=0这点不可导。
所以原函数可导，不代表反函数可导。