Question

急求解高中数学题（向量）！

点M（x,y)在椭圆 x2（平方） +12 y2（平方）=12上，则x+2y的最大值是——，且求x+2y取得最大值时的M的坐标。

Answer 1

解：方法一：
因为x² +12 y² =12
故：x²/12 + y² =1
故：可设：x=2√3*sinθ,y=cosθ，0≤θ＜2π
故：x+2y=2√3*sinθ+ 2cosθ=4sin(π/6+θ)
故：x+2y的最大值是4，此时sin (π/6+θ)=1
即：π/6+θ=π/2
故：θ=π/3
故：x=2√3*sinθ=3，y=cosθ=1/2
即：M（3，1/2）

方法二：
设x+2y=t
故：x=t-2y代入x² +12 y² =12
得：（t-2y）² +12 y² =12
故：16 y²-4ty+t²-12=0
故：△=16 t²-64（t²-12）≥0
故：-4≤t≤4
故：x+2y的最大值是4，此时可求得x =3，y =1/2
即：M（3，1/2）

Answer 2

这个可以根据几何法解 你画出椭圆的图形 设d=x+2y，可知0=x+2y-d是斜率一定的在平移，由于XY是椭圆上的点 所以 当直线与椭圆相切的时候的x，y坐标就是这个要求的坐标，切线有会有两个 取那个最大的！！

Answer 3

方法一：三角换元。令X=2×3½cosa,Y=sina,2×3½cosa+2sina<=[(2×3½)²＋2²]½×（cos²a+sin²a）½（柯西不等式）=4，此时X=3,Y=1/2
方法2：用线性规划，或者说数形结合。略。 一楼采用方法一时，与我处理办法不同，他用了辅助角公式，本人认为用柯西不等式更好，虽然二维柯西不等式本质与辅助角公式相同。