Question

若导函数是周期函数，原函数一定是周期函数吗？

Answer 1

不一定。对导数周期和原函数零点有要求。
设f'(x)=f'(x+b)，f(x)=定积分(x0到x)f'(t)dt=定积分(x0到x)f'(t+b)dt=定积分(x0＋b到x+b)f'(t)dt=f(x+b)-定积分(x0到x0+b)f'(t)dt
也就是说要原函数是同周期的周期函数，需要导数从原函数零点起到一个周期内积分为零。

Answer 2

不一定啊
如： f'(x)=cosx +1 是周期函数
但 f(x)=sinx+x 不是周期函数