Question

证明可导的周期函数的导数仍是周期函数，且周期不变

Answer 1

是的。

证明：

设函数周期f(x)的最小正周期为T

则有f(x)=f(x+T)

两边同时对x求导得

f'(x)=f'(x+T)(x+T)'=f'(x+T)

于是有f`(x)=f`(x+T)

即f`(x)是周期为T的周期函数。

周期函数的性质共分以下几个类型：

（1）若T（≠0）是f（x）的周期，则－T也是f（x）的周期。

（2）若T（≠0）是f（x）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f（x）的周期。

（3）若T1与T2都是f（x）的周期，则T1±T2也是f（x）的周期。

（4）若f（x）有最小正周期T*，那么f（x）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。

（5）若T1、T2是f（x）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f（x）不存在最小正周期。

（6）周期函数f（x）的定义域M必定是至少一方无界的集合。

Answer 2

证明：
设函数周期f(x)的最小正周期为T
则有f(x)=f(x+T)
两边同时对x求导得
f'(x)=f'(x+T)(x+T)'=f'(x+T)
于是有f`(x)=f`(x+T)
即f`(x)是周期为T的周期函数。

追问

f（x）的导数=f（x+T）的导数就可以说明f（x）是周期函数了吗

追答

这是周期函数的定义呀，若f(x)=f(x+T) T>0
称f(x)为周期函数。

追问

那不是应该证明f（x）的导师=f（x+T）吗

追答

那不是应该证明f（x）的导师=f（x+T）吗

这个理解是错的。

追问

那你那样做就行了是吧

追答

我的理解是对的。

Answer 3

对
周期函数是指f(x)=f(x+t),对定义域内的x,t是其周期
则f'(x)=lim((f(x+δx)-f(x))/δx)
=lim((f(x+t+δx)-f(x+t))/δx)=f'(x+t)
所以f'(x)也是以t为周期的周期函数