Question

如图,四边形ABCD是边长为a的正方形,分别以点ABCD为圆心,a为半径画弧，相交于点EFGH，求阴影部分面积周长

要具体式子哦哦亲们~

Answer 1

连接AH、BH、BE、CE
因为AH=BH=AB=a，BE=CE=BC=a
所以∠ABH=∠EBC=60度
又因为角ABC=90度
所以角EBH=30度
所以弧EH=1\3弧AEC
同理得弧EF=1\3弧EFD，弧FG=1\3弧AFC，弧GH=1\3弧BGD
所以，阴影部分周长=30°πa\180°×4=2aπ\3

追问

我主要要的是面积怎么算额- -。、。、

追答

扇形AFG面积 S1 = πaa * 30°/ 360°= πaa/12
设正方形中心点为 O ，连接 OA、OF，延长 OF，交 AD 于 P
则有： FP ⊥ AD，AP = a/2
又∵ AF = a
∴根据勾股定理，FP = (a/2)*√3
∴OF = PF - OP = (a/2)*√3 - a/2 = a/2 * (- 1 + √3)
∴S△AOF = OF * AP / 2 = aa/8 * (- 1 + √3)
同理 S△AOG = S△AOF
设 OF、OG、弧FG 围成图形的面积为 S2，则：
S2 = S1 - S△AOF - S△AOG
= S1 - 2 * S△AOF
= πaa/12 - 2 * aa/8 * (- 1 + √3)
= aa/4 * (π/3 + 1 - √3)
由题意知，四条弧相交部分面积 = 4 * S2 = aa * (π/3 + 1 - √3)
}