怎样求二次函数的解析式
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怎样求二次函数解析式
就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.
巧取交点式法
知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)x1，x2
分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.
典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.
例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.
析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，
即y=2x2+2x-4. 典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交
点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解. 例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4
.求二次函数的解析式. 思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.
顶点式的妙处
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.
典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数
顶点式. 例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(
1，10)，求此二次函数的解析式. 析解∵顶点坐标为(-1，-2)，
故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 (a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x= -b2a时，y有最小
值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标
，同样也可以求出顶点式. 例4 已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析
式. 析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，
-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上. 由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).
∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3, 解得a=13.
∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73. 典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.
例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式. (2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式. (3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式. (4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)
典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.
例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______.
析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.
须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.
就一般式y=ax2+bx+c(其中a，b，c为常数，且a≠0)而言，其中含有三个待定的系数a ，b ，c.求二次函数的一般式时，必须要有三个独立的定量条件，来建立关于a ，b ，c 的方程，联立求解，再把求出的a ，b ，c 的值反代回原函数解析式，即可得到所求的二次函数解析式.
巧取交点式法
知识归纳:二次函数交点式:y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)x1，x2
分别是抛物线与x轴两个交点的横坐标.已知抛物线与x轴两个交点的横坐标求二次函数解析式时，用交点式比较简便.
典型例题一:告诉抛物线与x轴的两个交点的横坐标，和第三个点，可求出函数的交点式.
例1已知抛物线与x轴交点的横坐标为-2和1 ，且通过点(2，8)，求二次函数的解析式.
析解设函数的解析式为y=a(x+2)(x-1)，∵过点(2，8)，∴8=a(2+2)(2-1).解得a=2，∴抛物线的解析式为y=2(x+2)(x-1)，
即y=2x2+2x-4. 典型例题二:告诉抛物线与x轴的两个交
点之间的距离和对称轴，可利用抛物线的对称性求解. 例2已知二次函数的顶点坐标为(3，-2)，并且图象与x轴两交点间的距离为4
.求二次函数的解析式. 思路启迪在已知抛物线与x轴两交点的距离和顶点坐标的情况下，问题比较容易解决.由顶点坐标为(3，-2)的条件，易知其对称轴为x=3，再利用抛物线的对称性，可知图象与x轴两交点的坐标分别为(1，0)和(5，0).此时，可使用二次函数的交点式，得出函数解析式.
顶点式的妙处
顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)，其中(h，k)是抛物线的顶点.当已知抛物线顶点坐标或对称轴，或能够先求出抛物线顶点时，设顶点式解题十分简洁，因为其中只有一个未知数a.在此类问题中，常和对称轴，最大值或最小值结合起来命题.在应用题中，涉及到桥拱、隧道、弹道曲线、投篮等问题时，一般用顶点式方便.
典型例题一:告诉顶点坐标和另一个点的坐标，直接可以解出函数
顶点式. 例3已知抛物线的顶点坐标为(-1，-2)，且通过点(
1，10)，求此二次函数的解析式. 析解∵顶点坐标为(-1，-2)，
故设二次函数解析式为y=a(x+1)2-2 (a≠0).把点(1，10)代入上式，得10=a(1+1)2-2.∴a=3.∴二次函数的解析式为y=3(x+1)2-2，即y=3x2+6x+1.典型例题二:如果a>0，那么当x= -b2a时，y有最小
值且y最小=4ac-b24a;如果a<0，那么，当x=-b2a时，y有最大值，且y最大=4ac-b24a.告诉最大值或最小值，实际上也是告诉了顶点坐标
，同样也可以求出顶点式. 例4 已知二次函数当x=4时有最小值-3，且它的图象与x轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析
式. 析解∵二次函数当x=4时有最小值-3，∴顶点坐标为(4，
-3)，对称轴为直线x=4，抛物线开口向上. 由于图象与x轴两交点间的距离为6，根据图象的对称性就可以得到图象与x轴两交点的坐标是(1，0)和(7，0).
∴抛物线的顶点为(4，-3)且过点(1，0).故可设函数解析式为y=a(x-4)2-3.将(1，0)代入得0=a(1-4)2-3, 解得a=13.
∴y=13(x-4)2-3，即y=13x2-83x+73. 典型例题三:告诉对称轴，相当于告诉了顶点的横坐标，综合其他条件，也可解出.
例如(1)已知二次函数的图象经过点A(3，-2)和B(1，0)，且对称轴是直线x=3.求这个二次函数的解析式. (2)已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点(0，2)，且过点(-1，0)，求这个二次函数的解析式. (3)已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点(1，4)和点(5，0)，求此抛物线的解析式. (4)二次函数的图象的对称轴x=-4，且过原点，它的顶点到x轴的距离为4，求此函数的解析式.(此cc四dd题ee同ff学gg们hh自ii己jj尝kk试ll解[[出mm)
典型例题四:利用函数的顶点式，解图像的平移等问题非常方便.
例5把抛物线y=ax2+bx+c的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位, 所得图像的解析式是y=x2-3x+5, 则函数的解析式为_______.
析解先将y=x2-3x+5化为y=(x-32)2+5-94, 即y=(x-32)2+114.∵它是由抛物线的图像向右平移3 个单位, 再向下平移2 个单位得到的，∴原抛物线的解析式是y=(x-32+3)2+114+2=(x+32)2+194=x2+3x+7.
须掌握二次函数的三种表达形式:一般式y=ax2+bx+c，交点式y=a(x-x1)(x-x2)，顶点式y=a(x-h)2+k.能灵活运用这三种方式求二次函数的解析式;能熟练地运用二次函数在几何领域中的应用;能熟练地运用二次函数解决实际问题.
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