Question

ln(1+x)<x的证明过程

x>0

Answer 1

f(x)=ln(1+x)-x
f'(x)=1/(1+x)-1=-x/(1+x)
定义域1+x>0
x>-1
即f'(x)分母大于0
所以-1<x<0,f'(x)>0，增函数
x>0,f'(x)<0.减函数
所以x=0有极大值，也是最大值
f(0)=0
所以f(x)<=0
所以ln(1+x)<=x

这里可以取等号，即x=0时

Answer 2

定义域x>0要证明ln(1+x)<x也就是证明：
1+x<e^x
记f(x)=e^x-x-1,
x>0时,f(x)单调增
在x=0处f（x）有最小值 此时f（x）=1-1=0
所以f（x）>0
所以e^x>x+1
所以ln（1+x）<x

Answer 3

假设 y=ln(1+x)-x (x>-1)
对y求导数得
y'=1/(x+1)-1
令导数等于0 x=0
x<0 y'>0
x=0 y'=0
x>0 y'<0
所以x=0是极大值点，也是最大值点
f(0)=ln1=0
所以对任意的x>-1
y<=0
即ln(1+x)<=x

应该是有等号的，除非x=0不在定义域内