Question

超难初中几何题（高人来）

已知：在三角形ABC中，AB=AC，CD是角平分线，过三角形ABC的外心作CD的垂线交AC于E，过E作CD的平行线交AB于F。
求证：AE=FD
感谢三位的帮助，又掉罄 和 fysx730821 的回答我都看懂了，只是又掉罄的方法比较烦，又写得很挤，看起来很头大。
哈萨诺奇的提示 和 fysx730821的方法似乎相同，等哈萨诺奇在线的时候，我去问问他，所以可能采纳要拖几天，敬请谅解。
刚才和哈萨诺奇聊了一下，发现他的方法和 fysx730821基本相同。
答得多的方法也不错，没办法，进入投票吧。

Answer 1

证明：过点A作AQ垂直BC于Q，交CD于P，P点是内心，连接EP、OC。

∠APC=90°+∠PCQ，∠AEO=90°+∠ACG，得到∠APC=∠AEO

则点O、E、C、P四点共圆，∠ACO=∠EPA

半径OA=OC，∠ACO=∠CAO，AQ是∠BCA的平分线，∠CAO=∠DAP

则有∠EPA=∠PAD，EP‖DF，因EF‖DP，

四边形DFEP是平行四边形，DF=EP

∠EPA=∠PEA，EP=AE，则DF=AE得证。

Answer 2

提示一下：
过D作EF的垂线交EF于H，你可以得到：
GDHE为矩形，然后利用CD为∠ACB的角平分线，和GE垂直EF，你可以转化角的关系，找出角和边的关系，然后利用三角形全等，就可以得出结论！
因为没办法画图，所以也没办法详细描述，请自己按照提示做一下。

Answer 3

延长CD交圆O于点P，连接PA、PE；连接AO并延长，交CD于点Q，连接EQ。
设 ∠BAO = ∠CAO = α ，∠ACD = ∠BCD = β 。
因为，OG⊥CD，由垂径分弦，可得：∠EPC = ∠ECP = α ；
又 ∠APC = ∠ABC = 2α ，可得：∠APE = α 。
因为，∠PAQ = ∠PCB = β ，
∠PAQ = ∠PAD+∠DAQ = β+α = ∠ACD+∠CAO = ∠PQA ，
所以，PA = PQ 。
因为，PA = PQ ，∠APE = α = ∠QPE ，PE为公共边，
所以，△PAE ≌ △PQE ，
可得：AE = QE ，∠EQA = ∠EAQ = ∠DAQ ，
所以，EQ‖FD，且EF‖DQ，
可得：EFDQ为平行四边形，
所以，FD = EQ = AE 。

Answer 4

延长CD交圆于M，连AM、EM，
因为OE垂直MC，由垂径定理，OE为MC的中垂线，
所以∠EMC=∠ECM=∠MCB，所以ME‖BC
所以∠AEC=∠ACB=∠ABC=∠AMC
又∠MAE=∠CAM，所以△MAE∽△CAM，所以∠AME=∠ACM=∠EMC
所以ME平分∠AMC，所以AF/FD=AE/EC=AM/MC（角平分线定理）
又∠MAB=∠MCB=∠ACM，∠AMC公共，所以△MAD∽△MCA
所以AF/FD=AM/MC=MD/AM=AD/AC
又EF‖CD，所以AF/FD=AD/AC=AF/AE
即AF/FD=AF/AE，所以AE=FD得证。