Question

△ABC中,AD⊥BC于D,若AB+CD=AC+BD求证AB=AC

Answer 1

证明:
因为AB+CD=AC+BD,
所以(AB+CD)^2=(AC+BD)^2,
即AB^2+2AB*CD+CD^2=AC^2+2AC*BD+BD^2(1)
又在直角三角形ABD中,勾股定理,得,AB^2=AD^2+BD^2
在直角三角形ACD中,勾股定理,得,AC^2=AD^2+CD^2
代入(1),
AD^2+BD^2+2AB*CD+CD^2=AD^2+CD^2+2AC*BD+BD^2,
整理,
2AB*CD=2AC*BD,
AB*CD=AC*BD
所以AB/BD=AC/CD,
由角平分线性质定理,得,
AD平分∠BAC,
所以△ABC是等腰三角形
所以AB=AC

或:因为CosB=BD/AB
CosC=CD/AC,
所以∠B=∠C
所以△ABC是等腰三角形
所以AB=AC

你的题目真难,要想半天

Answer 2

因为三角形ABD和ACD是直角三角形，所以AB^2-BD^2=AC^2-CD^2（1），又由AB+CD=AC+BD得AB-BD=AC-CD（2），由（1）（2）得AB+BD=AC+CD(3)，联立公式(2)(3)得到AB=AC，所以ABC是等腰三角形