Question

如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=4,P为BC上的动点,过点P作AP的垂线交边CD于Q,△PQC沿PQ对折后得到△PQC’

若点C’落在AD上，则BP=多少？
如图,长方形ABCD的边AB=2,BC=4,P为BC上的动点,过点P作AP的垂线交边CD于Q,△PQC沿PQ对折后得到△PQC’，若点C’落在AD上，则BP=多少？

Answer 1

解：共点A作AM垂直PC'于点M
所以角AMP=90度
因为四边形ABCD是矩形
所以AB=CD=2
AD=BC=4
角D=角B=角C=90度
AD平行BC
所以角PAC'=角APB
因为AP垂直PQ
所以角APQ=角APC'+角C'PQ=90度
因为角APQ+角APB+角CPQ=180度
所以角APB+角CPQ=90度
因为三角形PQC沿PQ对折得到三角形PQC'
所以三角形PQC全等三角形PQC'
所以PC=PC'
CQ=C'Q
角CPQ=角C'PQ
所以角APC'=角APB=角PAC'
所以PC'=AC'
因为PA=PA
所以三角形PAB全等三角形PAM (AAS)
所以AB=AM=2
BP=MP
因为PC=BC-BP=4-BP
所以PC'=4-BP
所以AC'=4-BP
因为DC'=AD-AC'=4-(4-BP)=BP
因为角角APB+角B+角BAP=180度
所以角APB+角BAP=90度
因为角APQ+角APB+角CPQ=180度
所以角APB+角CPQ=90度
所以角CPQ=角BAP
所以三角形BAP相似三角形CPQ (AA)
所以AB/PC=BP/CQ
所以2/(4-BP)=BP/CQ
CQ=(4BP-BP^2)/2
所以C'Q=(4BP-BP^2)/2
在直角三角形DQC'中，角D=90度
所以DC'^2+DQ^2=C'Q^2
因为DQ=CD-CQ=2-[2-(4BP-BP^2)/2]
所以3BP^2-6BP+4=0
(3BP-2)(BP-2)=0
BP=2/3 或 BP=2
综上所述：BP的值是2/3或2

Answer 2

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