Question

一道高数证明题，求详细解答

Answer 1

分析：把要证明的不等式改写为ln(a+x)/(a+x)＜lna/a，因为a+x＞a，所以可试着证明函数lnx/x单调减少。

证明：令f(x)=lnx/x，x∈(e,+∞)。当x＞e时，f'(x)=(1-lnx)/x^2＜0，所以，f(x)在(e,+∞)内单调减少。当x∈(e,+∞)时，a+x＞a，所以f(a+x)＜f(a)，即ln(a+x)/(a+x)＜lna/a，此即aln(a+x)＜(a+x)lna。

Answer 2

令 f(x)=-aln(a+x)+(a+x)lna
f'(x)=-a/(a+x) +lna=0
alna+xlna=a
x=(a-alna)/lna<0
而x>0 所以f(x)没有极值点
代入一个点x=a 可以证明f(x)>0
所以f(x)>0
所以aln(a+x)<(a+x)lna

追问

没有极值点就可以随便找一个点？
你后面我看不懂啊
代入一个点x=a 可以证明f(x)>0
所以f(x)>0
所以aln(a+x)<(a+x)lna

Answer 3

不等式两边相减，设f（x)=aln(a+x)-(a+x)lna，求导，导数小于0，即可，详细过程不写了啊

追问

你上面的那位回答代表你这种方法根本不能用

Answer 4