Question

【高三数学】绝对值不等式的题目》》》》

设函数f(x)= |2x+1|-|x-4|，求函数y=f(x)的最小值。
........》》》写出过程和答案即可，谢谢！

Answer 1

解绝对不等式的基本思路:去掉绝对值符号转化为一般不等式,转化方法有(1)零点分段法(2)绝对值定义法(3)平方法；

⑴解f(x)>2
由于f(x)>2 ，f(x)=|2x+1|-|x-4|
|2x+1|-|x-4|>2 ，变换可得|x-4|-|2x+1|<-2
由零点分段法得：
1) x≥4且x-4-(2x+1)<-2;
或 2)-1/2<x<4且-（x-4）-（2x+1）<-4
或 3）x≤-1/2时且-（x-4）-v(2x+1)<-4
解得：x≥4或5/3<x<4或x<-9
即：x∈(-∞,-9)∪(5/3,4)∪[4,+∞).

Answer 2

分段讨论
零点是-1/2和4
则
x<-1/2
2x+1<0,x-4<0
f(x)=-2x-1-4+x=-x-5
x<-1/2
-x>1/2
f(x)=-x-5>-9/2

-1/2<=x<=4
则f(x)=2x+1-4+x=3x-3
-1/2<=x<=4
-9/2<=3x-3<=9

x>4
f(x)=2x+1+4-x=x+5
x>4
x+5>9

综上
f(x)>=-9/2
所以最小值=-9/2

Answer 3

f(x)=|2X+1|-|X-4|
当X>=4 最小是9
当2的时候 最小是-4.5
当3的时候 最小是-4.5
综合最小是-4.5

Answer 4

当2x+1=0时，x=-1/2,
当x-4=0时，x=4
将数轴分3段，去绝对值：
当x<-1/2时，-(2x+1)-（-x+4）=-x-5>-9/2
当-1/2<=x<=4时，(2x+1)-（-x+4）=3x-3>=-9/2
当4<x时，(2x+1)-（x-4）=x+5>9

所以最小值为-9/2

注意：
去绝对值要判断正负

Answer 5

首先可将f(x)等价为
-2x-1+x-4=-x-5 x<=-1/2
f(x)={ 2x+1+x-4=3x-3 -1/2<x<4
2x+1-x+4=x+5 x>=4
所以最小值为x=-1/2时，f(x)=-9/2