Question

关于圆锥曲线的最值问题

在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且c=10，cosA/cosB = b/a =4/3，P为△ABC内切圆上的懂点，求点P到顶点A，B，C的距离的平方和最大值与最小值~~

求过程，求高手解答~~~~~

Answer 1

根据余弦定理
cosA/cosB
=[(b^2+c^2-a^2)/2bc]/[(a^2+c^2-b^2)/2ac]
=a(b^2+c^2-a^2)/b(a^2+c^2-b^2)=b/a
a^2b^2+a^2c^2-a^4=a^2b^2+b^2c^2-b^4
a^4-b^4=a^2c^2-b^2c^2
(a^2+b^2)(a^2-b^2)=c^2(a^2-b^2)
因为b/a=4/3
所以a不等于b,且a>0,b>0
所以a^2-b^2不等于0
所以a^2+b^2=c^2
所以C是90度
代入c=10,a=3b/4
得b=8，a=6
那么这是一个直角三角形
内切圆半径r,圆心为O
那么根据题意知道
6-r+8-r=10
r=2
如果以AB AC做x y轴建立直角坐标系
那么A（0,0) O（2,2）
C（0，8） B（6,0）
圆上动点的参数方程是（2+2cosα 2+sinα）
距离的平方和
就可以表示出来了。
求三角函数的最值就不麻烦了。

（如果题目没提到内切圆，则可以应用下面引用一个结论：
角形的重心是到三角形三顶点距离的平方和最小的点
证明如下：
http://zhidao.baidu.com/question/88840782.html?si=2）