Question

数学归纳证明

证明：对大于2的一切正整数n，下列不等式成立(1+2+3+…+n)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n) ≥ n^2+n-1
为什么
首先n=1容易验证成立
假设n=k成立 n=k+1时 有
（1＋2＋3＋…＋k）（1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）+(k+1)*（1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）+（1＋2＋3＋…＋k）*(1/(k+1)
(1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）*(k+1)>2k+2
（1＋2＋3＋…＋k）*(1/(k+1)=k/2>0
（1＋2＋3＋…＋k）（1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）>k^2+k-1
加一起..n=k+1成立
OK 这两步不会理解
(1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）*(k+1)>2k+2
（1＋2＋3＋…＋k）*(1/(k+1)=k/2>0

Answer 1

咳咳，应该是首先n=3容易验证成立（不是n=1哦~~）

假设n=k成立，即(1+2+3+…+k)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/k) ≥ k^2+k-1,

因为 1+2+3+…+k=k(k+1)/2，所以，
1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/k≥（k^2+k-1）/[k(k+1)/2]
n=k+1时 有
[1+2+3+…+k+(k+1)][1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/k+1/(k+1)]
=（1＋2＋3＋…＋k)(1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）
+(k+1)(1＋1/2＋1/3＋…＋1/k)
+(1＋2＋3＋…＋k)[1/(k+1)]
+(k+1)[1/(k+1)]
≥k^2+k-1+(k+1) (k^2+k-1）/[k(k+1)/2]+k(k+1)/2*[1/(k+1)]+1
≥k^2+k-1+2(k+1)-2/k+k/2+1
≥(k+1)^2+(k+1)-1
因为k>2,-2/k+k/2≥0

这样可以理解吗？

静而后能思。共勉~

Answer 2

证明：
设：f(n)=(1+2+3+…+n)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n)-n^2-n+1
f(3)=(1+2+3)(1+ 1/2 + 1/3)-9-3+1=6*11/6-9-3+1=0
f(n+1)-f(n)=(1+2+3+…+n+n+1)[1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n+1/(n+1)]-(n+1)^2-n
-(1+2+3+…+n)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n)+n^2+n-1
=1+(n+1)(1+ 1/2 + 1/3 +…+ 1/n)+(1+2+3+…+n)(n+1)-2n-2
>1+n+1+(n+1)^2-2n-2>0
f(n)单调递增。
f(n)>f(3)≥0

Answer 3

（1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）
=（1+1-1/2+1/3+1/6+。。。。+1/k）
=（2-（1/3+1/6-1/2）+。。。。1/k) 因为（1/3+1/6-1/2）=0
=(2+1/4+1/5+1/7+...)>2

所以(1＋1/2＋1/3＋…＋1/k）*(k+1）>2*(k+1)=2k+2

(1＋2＋3＋…＋k）= (1+k)*k/2 等比数列求和
所以（1＋2＋3＋…＋k）*(1/(k+1)
=(1+k)*k/2 *(1/(k+1)=k/2>0