Question

函数f(x)=-x²+2|x-a|,当a＞0时，对任意的x∈【0，∞），不等式f(x-1)≥2f(x)恒成立，求a的取值范围

Answer 1

当a＞0时，对任意的x∈[0，∞），不等式f(x-1)≥2f(x)恒成立，
<==>-(x-1)^2+2|x-1-a|>=2[-x^2+2|x-a|],
<==>x^2+2x-1>=4|x-a|-2|x-1-a|,
化为3个不等式组：
1）x>=a+1,x^2+2x-1>=2x-2a+2,
2)a<x<a+1,x^2+2x-1>=6x-6a-2,
3)0<=x<=a,x^2+2x-1>=-2x+2a-2.
由1),x^2>=3-2a,
(a+1)^2>=3-2a,a^2+4a-2>=0,a>=√6-2.
由2),x^2-4x+4>=3-6a,
i)a<2<a+1,0>=3-6a,
解得1<a<2.
ii)2<a,a^2-4a+4>=3-6a,a^2+2a+1>=0,恒成立。
iii)a+1<2,(a-1)^2>=3-6a,
a<1,a^2+4a-2>=0,1>a>=√6-2.
对于2),a>=√6-2.
由3),x^2+4x+4>=2a+3,
4>=2a+3,0<a<=1/2.
求1),2),3)的交集得√6-2<=a<=1/2,为所求。