Question

如图所示,在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球,圆锥顶角为

如图(见附件)，在光滑的圆锥顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥顶角2θ。当圆锥和球一起以角速度ω匀速转动时，球压紧锥面，此时绳的拉力是多少？若要小球离开锥面，则小球的角速度至少为多少？

Answer 1

设小球为质点（不考虑小球半径）

(一）

则绳的拉力T、锥面的支持力N，重力，三力在竖直方向的分力平衡：
即：Tcosθ+Nsinθ=mg......................（1）
绳的拉力、支持力在水平方向的分力提供向心力：
即：Tsinθ-Ncosθ=mω^2R=mω^2*（Lsinθ）=mω^2Lsinθ......................（2）
由（1）得：
Nsinθ=mg-Tcosθ.......................(3)
由（2）得：
Ncosθ=Tsinθ-mω^2Lsinθ......................（4）
(3)÷（（4）得：
sinθ/cosθ=（mg-Tcosθ)/(Tsinθ-mω^2Lsinθ)
（mg-Tcosθ)cosθ=(Tsinθ-mω^2Lsinθ)sinθ
mgcosθ-T(cosθ)^2=T(sinθ)^2-mω^2L(sinθ)^2
T[(sinθ)^2+(cosθ)^2]=mgcosθ+mω^2L(sinθ)^2
T=mgcosθ+mω^2L(sinθ)^2

（二）若要小球离开锥面
需使支撑力N＜0
由（3）得：
mg-Tcosθ＜0..................(5)
由（4）得：
Tsinθ-mω^2Lsinθ＜0......................（6）
由（5）得：
T＞mg/cosθ......................（7）
由（6）得：
mω^2L＞T......................（8）
由（7）、（8）得：
mω^2L＞mg/cosθ
ω＞根号[g/(Lcosθ)]