Question

高二数学椭圆与圆相交类型

Answer 1

解：（1）∵圆x2+y2-4x-2y+5
2
=0，
∴圆（x-2）2+（y-1）2=5
2
，
∴直径AB=2
5
2
=
10
，
∵椭圆中心在原点，焦点在x轴上，
∴设椭圆：x2
a2
+y2
b2
＝1（a＞b＞0），
又设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中点（2，1）
∴x1+x2=4，y1+y2=2，
把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入椭圆：x2
a2
+y2
b2
＝1，
得
x12
a2
+y12
b2
＝1
x22
a2
+y22
b2
＝1
，∴b2（x1+x2）（x1-x2）+a2（y1+y2）（y1-y2）=0，
∴4b2（x1-x2）+2a2（y1-y2）=0，
∴k=y1−y2
x1−x2
=-2b2
a2
，
∵离心率为
3
2
，∴c
a
＝
3
2
，
∴c2
a2
=a2−b2
a2
=1-b2
a2
=3
4
，∴b2
a2
=1
4
，
∴k=y1−y2
x1−x2
=-2b2
a2
=-2×1
4
=-1
2
．
（2）∵AB的中点是（2，1），斜率k=-1
2
，
∴AB的方程为：y=-1
2
x+2，
由（1）得a2=4b2，∴椭圆方程为x2+4y2-4b2=0，
将直线AB的方程y=-1
2
x+2，代入椭圆方程x2+4y2-4b2=0，得：
x2-4x+8-2b2=0，
∴x1+x2=4，x1x2=8-2b2，
|AB|=
(1+1
4
)[16−4(8−2b2)]
=
10
，
解得b2=3，∴a2=12，
故椭圆的方程为：x2
12
+y2
3
＝1．