已知函数f(x)=sin2x+2cos2x-1.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期...
已知函数f(x)=sin2x+2cos2x-1.(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(Ⅱ)求函数f(x)在区间[π4,3π4]上的最大值和最小值....
已知函数f(x)=sin2x+2cos2x-1. (Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和最大值; (Ⅱ)求函数f(x)在区间[π4,3π4]上的最大值和最小值.
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解:(Ⅰ)∵2cos2x-1=cos2x,f(x)=sin2x+2cos2x-1,
∴f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4).…..(3分)
因此,函数的周期T=ω=2π2=π.…..(5分)
又∵-1≤sin(2x+π4)≤1,
∴-2≤f(x)≤2,当2x+π4=π2+2kπ时,即x=π8+kπ(k∈Z)时,函数的最大值为2.
综上所述,函数f(x)的最小正周期是π;最大值是2.…..(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2sin(2x+π4).
∵π4≤x≤3π4,得3π4≤2x+π4≤7π4.
∴-2≤2sin(2x+π4)≤2×22=1
当2x+π4=3π4时,即x=π4时,函数f(x)有最大值是1;
当2x+π4=3π2时,即x=5π8时,函数f(x)有最小值是-2.
综上所述,函数f(x)在区间[π4,3π4]上的最大值是1,最小值是-2.…..(13分)
∴f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+π4).…..(3分)
因此,函数的周期T=ω=2π2=π.…..(5分)
又∵-1≤sin(2x+π4)≤1,
∴-2≤f(x)≤2,当2x+π4=π2+2kπ时,即x=π8+kπ(k∈Z)时,函数的最大值为2.
综上所述,函数f(x)的最小正周期是π;最大值是2.…..(7分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=2sin(2x+π4).
∵π4≤x≤3π4,得3π4≤2x+π4≤7π4.
∴-2≤2sin(2x+π4)≤2×22=1
当2x+π4=3π4时,即x=π4时,函数f(x)有最大值是1;
当2x+π4=3π2时,即x=5π8时,函数f(x)有最小值是-2.
综上所述,函数f(x)在区间[π4,3π4]上的最大值是1,最小值是-2.…..(13分)
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