Question

已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A（2，0），右焦点...

已知双曲线x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)的右顶点为A（2，0），右焦点为F、O为坐标原点，点F，A到渐近线的距离之比为52，过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q． （I）求双曲线的方程及k的取值范围； （II）是否存在常数k，使得向量OP+OQ与AB垂直？如果存在，求k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（I）由题意，a=2
根据三角形相似，可得点F，A到渐近线的距离之比为|OF||OA|=ca=52，
∴c=5，∴b=c2-a2=1
∴双曲线的方程为x24-y2=1
设直线l的方程为y=kx+2，代入双曲线方程，可得（4k2-1）x2+16kx+20=0
∵过点B（0，2）且斜率为k的直线l与该双曲线交于不同的两点P，Q
∴4k2-1≠0且△=256k2-80（4k2-1）＞0，即k2≠14且k2＜54
解得-52＜k＜52且k≠±12；
（II）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-16k4k2-1，
∵OP+OQ=（x1+x2，y1+y2），AB=（-2，2），OP+OQ与AB垂直
∴-2（x1+x2）+2（y1+y2）=0
∴（x1+x2）（k-1）+4=0
∴-16k(k-1)4k2-1+4=0
∴k=14
∴存在常数k=14，使得向量OP+OQ与AB垂直．