Question

如图四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AE＝1／2（AD+AB）.求∠ADC＋∠ABC的度数。

Answer 1

（有辅助线，请看附图）

解：∠ADC＋∠ABC=180度，理由如下：

延长AB到点F，使BF=AD，连接CF

∴AF=AB+BF=AB+AD

∵AE=1/2（AD+AB）

∴AE=1/2AF

∴AE=EF

∵CE⊥AB于E

∴∠AEC=∠FEC=90度

在△AEC和△FEC中，

{AE=FE，∠AEC=∠FEC，CE=CE

∴△AEC≌△FEC

∴∠CAE=∠CFE，CA=CF

∵AC平分∠BAD

∴∠CAE=∠CAD

∴∠CAD=∠CFE（B）

在△ACD和△FCB中，

{CA=CF，∠CAD=∠CFB，AD=FB

∴△ACD≌△FCB

∴∠ADC=∠FBC

∴∠ADC＋∠ABC=∠FBC+∠ABC=180度

表达能力有限，希望能够帮到您

Answer 2

解：过C作CF垂直AD于F，
∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠EAC，
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴∠DFC=∠CEB=90°，
∴△AFC≌△AEC，
∴AF=AE，CF=CE，
∵AE=
12(AB+AD)，
∴2AE=AB+AD，
又∵AD=AF-DF，AB=AE+BE，AF=AE，
∴2AE=AE+BE+AE-DF，
∴BE=DF，
∵∠DFC=∠CEB=90°，CF=CE，
∴△CDF≌△CEB，
∴∠ABC=∠CDF，
∵∠ADC+∠CDF=180°，
∴∠ABC+∠ADC=180°．

Answer 3

解：过点C作CM垂直AD交AD的延长线于M
所以角CMD=角CMA=90度
因为CE垂直AB
所以角CEA=角CEB=90度
所以角CMD=角CEB=90度
角CMA=角CEA=90度
因为AC平分角BAD
所以角CAD=角CAB
因为AC=AC
所以三角形CMA全等三角形CEA (AAS)
所以CM=CE
AM=AE
因为AE=1/2(AD+AB)
AB=AE+BE
所以AM=AD+MD
所以AD+MD=1/2(AD+AD+MD+BE)
所以MD=BE
所以三角形CMD全等三角形CEB (SAS)
所以角CDM=角B
因为角ADC+角CDM=180度
所以角ADC+角B=180度