Question

已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=3/5,sin（A-B）=1/5, （1）求证tanA=2tanB;（2）设AB=3,求AB边上的高

已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=3/5,sin（A-B）=1/5, （1）求证tanA=2tanB;（2）设AB=3,求AB边上的高
求步骤， 谢谢！

Answer 1

答：
（1）sin（A+B）/sin（A-B）=（sinAcos+sinBcosA)/(sinAcosB-sinBcosA)
=3
2sinAcosB=4sinBcosA
tanA=2tanB
(2)设A,B,C的对边分别是a.b.c.AB边上的高为X.
三角形ABC为锐角三角形，sin(A+B)=sin(180°-C）=sinC=3/5
故：1/2*ab*sinC=1/2*3*X
故：(X²+1)(X²+4)=25X²
故：X=2+根号6
即，AB边上的高为2+根号6

Answer 2

把sin(A+B)和sin(A-B)分别展开,依次得两个式子,标记为1式和2式,两式相加,可得sinAcosB=2/5,标为3式,1式减3式,得cosAsinB=1/5,记为4式。1式除以4式即可得证。

Answer 3

解：(1)sin(A＋B)/sin(A-B)=(sinAcosB+sinBcosA)/(sinAcosB-sinBcosA)=3，
(tanA+tanB)/(tanA-tanB)=3，
tanA+tanB=3(tanA-tanB)
tanA=2tanB
(2)cos(A+B)=4/5,cos(A-B)=2√6/5.
sinAsinB=(cos(A-B)-cos(A+B))/2=(2-√6)/5
∵AB=3
∴h/tanA+h/tanB=3
h=3(tanA*tanB)/(tanA+tanB)
=3sinAsinB/sin(A+B)=2-√6