Question

已知函数y=f(x)是R上的奇函数，当x小于等于0时，f (x)=3^x/(9^x+1)-1/2

已知函数y=f(x)是R上的奇函数，当x小于等于0时，f (x)=3^x/(9^x+1)-1/2（1）求y=f(x)的值域（2）不等式f(x)大于1/3的解集

Answer 1

函数f(x)为奇函数。则有：f(x)=-f(-x)当x>=0时，-x=<0。则f(x)=-f(-x)=-3^(-x)/(9^(-x)+1)+1/2=-(1/3^x)/[(1/3^2x)+1]+1/2=-3^x/(9^x+1)+1/2即当x=<0时：f(x)=3^x/(9^x+1)-1/2。当x>=0时：f(x)=-3^x/(9^x+1)+1/2。令g(x)=3^x/(9^x+1)=1/(3^x+1/3^x)。而对于x属于R，3^x>0。则有3^x+1/3^x>=2。利用a+b>=2(ab)^0.5，其中a，b大于0。则有g(x)=1/(3^x+1/3^x)=<1/2。-g(x)>=-1/2则当x=<0时，f(x)=g(x)-1/2=<0。当x>=0时，f(x)=-g(x)+1/2>=-1/2+1/2=0。综上，当x属于R，y=f(x)的值域为R。弱f(x)>=1/3。当x=<0时，有g(x)-1/2>1/3。即g(x)>5/6。则有与g(x)=<1/2矛盾。当x>=0时，有-g(x)+1/2>1/3。即g(x)<1/6。则有1/(3^x+1/3^x)>1/6，则有9^x-6*3^x+1<0。即令3^x=t。则t>=1。即t^2-6t+1<0。用求根公式知t1=(6+(36-4)^2)/2=3+2^(3/2).t2=3-2^(3/2)<1。故1=<t<3+2^(3/2)。即1=<3^x<3+2^(3/2)，则0=<x<1+3ln2/2ln3。

Answer 2

已知函数y=f(x)是R上的奇函数，当x<=0时，f (x)=3^x/(9^x+1)-1/2（1）求y=f(x)的值域（2）不等式f(x)大于1/3的解集当x>0时，-x<0,f(x)=-f(-x)=-3^-x/(9^-x+1)+1/2=-3^x/(9^x+1)+1/2所以函数f(x)=-3^x/(9^x+1)+1/2 x>0 f(x)=3^x/(9^x+1)-1/2 x<=03^x/(9^x+1)=1/(3^x+3^-x) 3^x+3^-x>=2 0<3^x/(9^x+1)<=1/2
-1/2<3^x/(9^x+1)-1/2<=0 0=<-3^x/(9^x+1)+1/2<1/2
-1/2<f(x)<1/2