Question

已知 M是等边△ABC边BC上的点 如图 联结AM 过点M作∠AMH=60°MH与∠ACB的外角的平分线交于点H，求证;MA=MH

已知，M是等边△ABC边BC上的点．（1）如图1，过点M作MN∥AC，且交AB于点N，求证：BM=BN；（2）如图2，连接AM，过点M作∠AMH=60°，MH与∠ACB的邻补角的平分线交与点H，过H作HD⊥BC于点D．①求证：MA=MH； ②猜想写出CB，CM，CD之间的数量关系式，并加于证明；（3）如图3，（2）中其它条件不变，若点M在BC延长线上时，（2）中两个结论还成立吗？若不成立请直接写出新的数量关系式（不必证明）．

Answer 1

（1）证明：∵MN∥AC
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN；

（2）①证明：过M点作MN∥AC交AB于N，
则BM=BN，∠ANM=120°
∵AB=BC，
∴AN=MC，
∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°，
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，
又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，
∴∠HMC+∠AMN=60°
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠HMC=∠MAN，
在△ANM和△MCH中
∠ANM＝∠MCH

AN＝MC

∠HMC＝∠MAN

∴△AMN≌△MHC（ASA），

∴MA=MH；

②CB=CM+2CD；
证明：过M点作MG⊥AB于G，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN=HC，
∵MN=MB，
∴HC=BM，
∵△BMN为等边三角形，
∴BM=2BG，
在△BMG和△CHD中
∠B＝∠HCD
∠MGB＝∠HDC

HC＝MB

∴△BMG≌△CHD（AAS），

∴CD=BG，

∴BM=2CD
所以BC=MC+2CD；

（3）（2）中结论①成立，
②不成立，CB=2CD-CM．

Answer 2

（1）证明：∵MN∥AC
∴∠BMN=∠C=60°，∠BNM=∠B=60°，
∴∠BMN=∠BNM，
∴BM=BN；

（2）①证明：过M点作MN∥AC交AB于N，
则BM=BN，∠ANM=120°
∵AB=BC，
∴AN=MC，
∵CH是∠ACB外角平分线，所以∠ACH=60°，
∴∠MCH=∠ACB+∠ACH=120°，
又∵∠NMC=120°，∠AMH=60°，
∴∠HMC+∠AMN=60°
又∵∠NAM+∠AMN=∠BNM=60°，
∴∠HMC=∠MAN，
在△ANM和△MCH中
∠ANM＝∠MCH

AN＝MC

∠HMC＝∠MAN

∴△AMN≌△MHC（ASA），

∴MA=MH；

②CB=CM+2CD；
证明：过M点作MG⊥AB于G，
∵△AMN≌△MHC，
∴MN=HC，
∵MN=MB，
∴HC=BM，
∵△BMN为等边三角形，
∴BM=2BG，
在△BMG和△CHD中
∠B＝∠HCD
∠MGB＝∠HDC

HC＝MB

∴△BMG≌△CHD（AAS），

∴CD=BG，

∴BM=2CD
所以BC=MC+2CD；

（3）（2）中结论①成立，
②不成立，CB=2CD-CM．