Question

求解高等数学的一道关于方向导数和梯度的题目

Answer 1

f=x^2+2y^2+3z^2+xy+3x-2y-6z,
f'<x>=2x+y+3, f'<y>=4y+x-2, f'<z>=6z-6.
gradf(x,y,z)=if'<x>+jf'<y>+lf'<z.>=i(2x+y+3)+j(x+4y-2)+k(6z-6)
gradf(0,0,0)=3i-2j-6k={3,-2,-6}, gradf(1,1,1)=6i+3j+0k={6,3,0}.
f在点A(1,1,1)=的方向导数
∂f/∂l<A>=6cosα+3cosβ+0cosγ=6cosα+3cosβ
梯度的方向就是取得最大方向导数的方向，此时
cosα=6/√(6^2+3^2)=2/√5, cosβ=3/√(6^2+3^2)=1/√5, cosγ=0
方向导数的最大值是 6cosα+3cosβ=3√5，事实上，最大值就是梯度的模。