Question

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD.SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0<λ≤1）

如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD⊥平面ABCD.SD=AD=a，点E是SD上的点，且DE=λa（0<λ≤1）.
（1）求证：对任意的λ∈（0，1]，都有AC⊥BE；
（2）若二面角C—AE—D的大小为60°，求λ的值.

Answer 1

解：
（1）
连结BD
∵SD⊥平面ABCD，AC∈平面ABCD
∴SD⊥AC 即 ED⊥AC
又∵正方形ABCD中，AC⊥BD
所以AC⊥平面DEB
∴AC⊥BE

（2）过D做DF⊥AE交AE与F，连结FC
∵DC⊥平面ADE
∴DC⊥AE
又∵DF⊥AE
∴AE⊥平面DFC
角DFC是二面角C—AE—D的平面角为60°
所以DF=DC*cot60°=√3/3a
sinEAD=DF/AD=√3/3
tanEAD=1/2
λx=tanEAD*x
λ=1/2

Answer 2

(1)连接BD，因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又因为SD⊥平面ABCD，所以SD⊥AC，那么AC⊥平面SDB。因为E是SD上的点，所以总有AC⊥BE。
（2） 这个要用到一个啥定理，很久没接触这个东西，忘了