Question

请问这里证极限的唯一性，为什么取ε=(A-B)/2，怎么知道 (A-B)/2小于1的，谢谢：D

Answer 1

设有两个极限，a，b，且b>a，取ε=(b-a)/2，
由极限定义存在N1>0，当n>N1时，有|xn-a|<(b-a)/2，
（注意：上面这个式子只有在n>N1时成立，并不是对所有xn成立）
存在N2>0，当n>N2时，有|xn-b|<(b-a)/2，

取N=max{N1,N2}，当n>N时（注意：因为N是N1和N2中较大的，此时n>N1和n>N2就同时成立了）
此时：|xn-a|<(b-a)/2，|xn-b|<(b-a)/2 同时成立
将两个式子的绝对值去掉得：
-(b-a)/2 < xn-a < (b-a)/2 可得出：xn<(a+b)/2
-(b-a)/2 < xn-b < (b-a)/2 可得出：xn>(a+b)/2

这样两个结论同时被推出，所以矛盾了。

另外，有关ε的证明是难点，但不是重点，实在不明白，可以只看结论，过程跳过。不影响以后学习。

追问

麻烦你帮我讲一下

追答

为什么取ε=d/2？试作一个简单的探寻。
A≠B，不妨设A0, ε2>0，
分别存在N1,N2∈N*,
当n>N1时,|xn-A|N2时,|xn-B|N时，
|xn-A|B－ε。矛盾。
若A＋ε=B－ε, 有xnB－ε。矛盾。
若A＋ε>B－ε,存在xn0∈（A＋ε,B＋ε），有xn0A＋ε矛盾。
既然三个都能“制造”（就是推出）矛盾，何不择其易者。
故取A＋ε=B－ε，这时ε=(B-A)/2＝d/2. 然也。

追问

我忘了