Question

如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE= 1 2 BD

如图，在△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D是AC上一点，AE⊥BD交BD的延长线于点E，且AE= 1 2 BD，求证：BD是∠ABC的角平分线．

Answer 1

证明：延长AE、BC交于点F． ∵AE⊥BE， ∴∠BEF=90°，又∠ACF=∠ACB=90°， ∴∠DBC+∠AFC=∠FAC+∠AFC=90°， ∴∠DBC=∠FAC， 在△ACF和△BCD中， ∠ACF=∠BCD=90° AC=BC ∠FAC=∠DBC ∴△ACF≌△BCD（ASA）， ∴AF=BD． 又AE= 1 2 BD， ∴AE=EF，即点E是AF的中点． ∴AB=BF， ∴BD是∠ABC的角平分线．