如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,△AOB为等腰三角形,且OA=OB,过点B作y轴

如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,△AOB为等腰三角形,且OA=OB,过点B作y轴的垂线,垂足为D,直线AB的解析式为y=-3x+30,点C在... 如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A在x轴的正半轴上,△AOB为等腰三角形,且OA=OB,过点B作y轴的垂线,垂足为D,直线AB的解析式为y=-3x+30,点C在线段BD上,点D关于直线OC的对称点在腰OB上.(1)求点B坐标;(2)点P沿折线BC-OC以每秒1个单位的速度运动,当一点停止运动时,另一点也随之停止运动.设△PQC的面积为S,运动时间为t,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围;(3)在(2)的条件下,连接PQ,设PQ与OB所成的锐角为α,当α=90°-∠AOB时,求t值.(参考数据:在(3)中,5取115.) 展开
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謊唁丶FM03FJ
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(1)由题可设点B的坐标为(a,-3a+30),作BG⊥OA于G
在Rt△OBG中,由勾股定理可得:a2+(-3a+30)2=102
解得:a1=10,a2=8
当a=10时,-3a+30=0,(与A点重合,不符合题意舍去
当a=8时,-3a+30=6
∴B(8,6);

(2)①当0≤t<5时,如图1所示;
过点C作CF⊥OB于F,则△OCD≌△OCF.
在Rt△BCF中,由勾股定理可得:CF=3,BC=5
即OF=OD=6,CF=CD.
过点Q作QN⊥BD于N,则QN∥OD,∴△BQN∽△BDO,
QN
OD
BQ
OB
QN
6
10?t
10
∴QN=6-
3
5
t
,…1′
∴S=
1
2
(6?
3
5
t)?(5?t)
即S=
3
10
t2?
9
2
t+15
…1′
②当5<t≤10时,如图2所示;
过点Q作QM⊥OC于M,∵COQ=∠COD,∠CDO=∠QMO=90°,
∴△QMO∽△COD,∴
QM
CD
OQ
OC
QM
3
t
32+62

∴QM=
5
5
t
,…1′
∴S=
1
2
×
5
5
t?(t?5)
即S=
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