Question

设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3a=2bsinA．（1）求角B的大小；（2）若a+c=4，求AC边上中

设锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，3a=2bsinA．（1）求角B的大小；（2）若a+c=4，求AC边上中线长的最小值．

Answer 1

（1）在锐角△ABC中，

3

a=2bsinA．
由正弦定理得

3

sinA=2sinBsinA，
所以sinB=

3

2

，
因为三角形ABC为锐角三角形，所以B=

π

3

．
（2）设AC边上的中点为E，由余弦定理得，
BE²=

2(AB2+BC2)?AC2

4

=

a2+c2+ac

4

，
∴BE²=

1

4

[（a+c）²-ac]=

1

4

（16-ac）=4-

1

4

ac≥4-

1

4

（

a+c

2

）²=3，当且仅当a=c=2时取等号，
AC边上中线长的最小值

3

．