Question

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（π4+B）?sin（π4-B）．（Ⅰ）求角B

在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinB=2sin（π4+B）?sin（π4-B）．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若b=1，求△ABC的面积的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）由条件得sinB=2（

2

2

cosB+

2

2

sinB）（

2

2

cosB?

2

2

sinB），
即sinB=cos²B-sin²B，
由sin²B+cos²B=1得，2sin²B+sinB-1=0，
解得sinB=

1

2

或sinB=-1…（5分）
因为△ABC是锐角三角形，所以B=

π

6

…（7分）
（Ⅱ）由余弦定理：b²=a²+c²-2accosB，
把b=1，B=

π

6

代入可以得到：
1＝a2+c2?

3

ac≥(2?

3

)ac，所以ac≤

1

2? 3

=2+

3

 …（10分）
所以S△ABC＝

1

2

acsinB＝

1

4

ac≤

2+ 3

4

           …（13分）
当且仅当a=c时取等号，此时△ABC的面积的最大值是

2+ 3

4

…（14分）