Question

在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，P为AB的中点，Q为CD1的中点．（1

在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，P为AB的中点，Q为CD1的中点．（1）求证：DP⊥平面A1ABB1；（2）求证：PQ∥平面ADD1A1．

Answer 1

证明：（1）连接DB，由菱形ABCD可得AB=AD，又∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形，
∵P为AB的中点，∴DP⊥AB．
∵AA₁⊥平面ABCD，∴AA₁⊥DP．
又AA₁∩AB=A，∴DP⊥平面A₁ABB₁．
（2）取CD的中点E，连接PE，EQ，又Q为CD₁的中点，根据三角形的中位线定理可得EQ∥DD₁，
∵EQ?平面ADD₁A₁．DD₁?平面ADD₁A₁．
∴EQ∥平面ADD₁A₁．
由于平行四边形APED可得EP∥AD，同理可得EP∥平面ADD₁A₁．
∵EP∩EQ=E，∴平面EPQ∥平面ADD₁A₁．∴PQ∥平面ADD₁A₁．