Question

已知函数f（x）=lnx-kx+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范

已知函数f（x）=lnx-kx+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≤0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）证明：ni＝2lnii+1＜n(n?1)4（n∈N+，n＞1）．

Answer 1

（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝

1

x

?k．
当k≤0时，f′(x)＝

1

x

?k＞0，
f（x）在（0，+∞）上是增函数；
当k＞0时，若x∈(0，

1

k

)时，有f′(x)＝

1

x

?k＞0，
若x∈(

1

k

，+∞)时，有f′(x)＝

1

x

?k＜0，
则f（x）在（0，

1

k

）上是增函数，在（

1

k

，+∞）上是减函数．
（2）由（1）知k≤0时，f（x）在（0，+∞）上是增函数，
而f（1）=1-k＞0，f（x）≤0不成立，故k＞0，
又由（1）知f（x）的最大值为f（

1

k

），要使f（x）≤0恒成立，
则f（

1

k

）≤0即可．，即-lnk≤0，得k≥1．
（3）由（2）知，当k=1时，
有f（x）≤0在（0，+∞）恒成立，
且f（x）在（1，+∞）上是减函数，f（1）=0，
即lnx＜x-1在x∈[2，+∞）上恒成立，
令x=n²，则lnn²＜n²-1，
即2lnn＜（n-1）（n+1），从而

lnn

n+1

＜

n?1

2

，
∴

n

i＝2

lni

i+1

＜

n(n?1)

4

（n∈N₊，n＞1）．