Question

在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AD=AA 1 =1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：A 1 D ∥ 平面BCC 1

在长方体ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中，AD=AA 1 =1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）证明：A 1 D ∥ 平面BCC 1 B 1 ；（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD 1 的距离．

Answer 1

（本题满分14分） （1）连接B 1 C，因为几何体是长方体， 所以A 1 B 1 CD是矩形，所以A 1 D ∥ B 1 C， 因为B 1 C?平面平面BCC 1 B 1 ，A 1 D?平面BCC 1 B 1 ， 所以A 1 D ∥ 平面BCC 1 B 1 ； （2）建立如图的坐标系， D A 1 =（1，0，1）， 此时，E（1，1，0）， D 1 E =（1，1，-1）， 设平面ACD 1 的法向量是 n =(1，x，y) ， A D 1 =(-1，2，0) ， 由 n ?  A D 1 =0 ， n ? AC =0 ，得 n =(1， 1 2 ，1) ， 取 n =(2，1，2) ， 点E到面ACD 1 的距离d= | n ? D 1 E | | n | = 1 3 ．