Question

已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝ x 3 － x 2 ＋a x．(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；(Ⅱ) 若函

已知实数a满足1＜a≤2，设函数f (x)＝ x 3 － x 2 ＋a x．(Ⅰ) 当a＝2时，求f (x)的极小值；(Ⅱ) 若函数g(x)＝4x 3 ＋3bx 2 －6(b＋2)x (b∈R) 的极小值点与f (x)的极小值点相同，求证：g(x)的极大值小于或等于10．





Answer 1

(Ⅰ) 极小值为f (2)＝  (Ⅱ)证明如下

试题分析：(Ⅰ)解：当a＝2时，f ′(x)＝x 2 －3x＋2＝(x－1)(x－2)． 列表如下： x (－ ，1) 1 (1，2) 2 (2，＋ ) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f (x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，f (x)的极小值为f (2)＝ ．               (Ⅱ) 解：f ′ (x)＝x 2 －(a＋1)x＋a＝(x－1)(x－a)． 由于a＞1，所以f (x)的极小值点x＝a，则g(x)的极小值点也为x＝a． 而g′ (x)＝12x 2 ＋6bx－6(b＋2)＝6(x－1)(2x＋b＋2)，所以 ， 即b＝－2(a＋1)． 又因为1＜a≤2，所以  g(x) 极大值 ＝g(1)＝4＋3b－6(b＋2)＝－3b－8＝6a－2≤10． 故g(x)的极大值小于或等于10．         点评：导数常应用于求曲线的切线方程、求函数的最值与单调区间、证明不等式和解不等式中参数的取值范围等。