Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AC与BD交于点O，PA=3，AD=2，AB=23，BC=6．（Ⅰ

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB⊥AD，AC与BD交于点O，PA=3，AD=2，AB=23，BC=6．（Ⅰ） 求证：BD⊥平面PAC；（Ⅱ）求二面角O-PB-A的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由AD=2，AB=2

3

，BC=6得BD=4，AC=

3

∵

AO

OC

＝

OD

BO

＝

1

3

，∴AO=

3

，BO=3
在△ABO中，AO²+BO²=AB²，所以AO⊥BO，
∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BO
∵PA∩AO=A，∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：由PA⊥底面ABCD，可得面PAB⊥底面ABCD，
由AB⊥AD，可得DA⊥面PAB
作AH⊥PB，连接DH，则DH⊥PB，所以∠AHD是二面角D-PB-A的平面角．
在△AHD中，AH=

6

7

，AD=2，HD=

8

7

，∴cos∠AHD＝

AH

HD

=

3

4

．
所以二面角D-PB-A的余弦值是

3

4

．