Question

设函数f（x）=15x2+16x+23，L为曲线C：y=f（x）在点（-1，112）处的切线．（1）求L的方程；（2）当x＜-15

设函数f（x）=15x2+16x+23，L为曲线C：y=f（x）在点（-1，112）处的切线．（1）求L的方程；（2）当x＜-15时，证明：除切点（-1，112）之外，曲线C在直线L的下方；（3）设x1，x2，x3∈R，且满足x1+x2+x3=-3，求f（x1）+f（x2）+f（x3）的最大值．

Answer 1

解答：（1）解：∵f（x）=

1

5x2+16x+23

，
∴f′(x)＝?

10x+16

(5x2+16x+23)2

，
∴f′(?1)＝?

1

24

．
∴L的方程为y?

1

12

＝?

1

24

(x+1)，即y＝?

1

24

x+

1

24

；
（2）证明：要证除切点（-1，

1

12

）之外，曲线C在直线L的下方，
只需证明?x∈(?∞，?1)∪(?1，?

1

5

)，

1

5x2+16x+23

＜?

1

24

x+

1

24

恒成立．
∵5x²+16x+23＞0，
∴只需证明?x∈(?∞，?1)∪(?1，?

1

5

)，5x³+11x²+7x+1＜0恒成立即可．
设g(x)＝5x3+11x2+7x+1(x≤

1

5

)，
则g′（x）=15x²+22x+7=（x+1）（15x+7）．
令g′（x）=0，解得x₁=-1，x2＝?

7

15

．
当x∈(?∞，?1)，(?

7

15

，?

1

5

)时，g′（x）＞0，g（x）为增函数；
当x∈(?1，?

7

15

)时，g′（x）＜0，g（x）为减函数．
∴明?x∈(?∞，?1)∪(?1，?

1

5

)，5x³+11x²+7x+1＜0恒成立；
（3）①当x1＜?

1

5

，x2＜?

1

5

，x3＜?

1

5

时，
由（2）知，f(x1)＝

1

5x12+16x1+23

≤?

1

24

x1+

1

24

，
f(x2)＝

1

5x22+16x2+23

≤?

1

24

x2+

1

24

，
f(x3)＝

1

5x32+16x3+23

≤?

1

24

x3+

1

24

．
三式相加得：f(x1)+f(x2)+f(x3)≤?

1

24

(x1+x2+x3)+

1

8

．
∵x₁+x₂+x₃=-3，
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)≤

1

4

，当且仅当x₁=x₂=x₃=-1时取等号．
②当x₁，x₂，x₃中至少有一个大于等于?

1

5

时，
不妨设x1≥?

1

5

，则5x12+16x1+23＝5(x1+

8

5

)2+

51

5

≥5(?

1

5

+

8

5

)2+

51

5

＝20，
∵5x22+16x2+23＝5(x2+

8

5

)2+

51

5

≥

51

5

，5x32+16x3+23＝5(x3+

8

5

)2+

51

5

≥

51

5

，
∴f(x1)+f(x2)+f(x3)≤

1

20

+

5

21

+

5

21

＜

1

4

．
综上所述，当x₁=x₂=x₃=-1时，f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）取到最大值

1

4

．