Question

已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+2=（2+cosnπ）（an-1）+3，n∈N*．（1）求通项公式an；（2）求数列

已知数列{an}满足：a1=1，a2=2，且an+2=（2+cosnπ）（an-1）+3，n∈N*．（1）求通项公式an；（2）求数列的前n项的和Sn．

Answer 1

（1）当n是奇数时，cosnπ=-1，
所以a_n+2=a_n+2，所以a₁，a₃，a₅，…，a_2n-1，…是首项为a₁=1，公差为2的等差数列，因此a_2n-1=2n-1．
当n为偶数时，cosnπ=1，所以a_n+2=3a_n，所以a₂，a₄，a₆，…，a_2n，…是首项为a₂=2，公比为3的等比数列，因此a2n＝2×3n?1．
综上an＝

n， n是奇 2×3 n 2 ?1，n是偶

．
（2）由（1）得S2n＝(a1+a3+…+a2n?1)+(a2+a4+…+a2n)＝3n+n2?1，
S2n?1＝S2n?a2n＝3n?1+n2?1，
所以Sn＝

3 n 2 + n2 4 ?1，n是偶 3 n?1 2 + (n+1)2 4 ?1，n是奇

．