Question

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（1）求证：数列{an+1}是等比数列，并写出数列{an}的通项公

已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N*）．（1）求证：数列{an+1}是等比数列，并写出数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足4b1?1?4b2?1?4b3?1…4bn?1＝(an+1)n，求数列{bn}的前n项和Sn．

Answer 1

（1）证明：∵a_n+1=2a_n+1（n∈N^*），∴a_n+1+1=2（a_n+1）．
又 a₁=1，a₁+1≠0，∴

an+1+1

an+1

=2，
∴数列{a_n+1}是以2为公比、以2为首项的等比数列，
∴a_n+1=2ⁿ，即a_n =2ⁿ-1．
（2）∵4b1?1?4b2?1?4b3?1…4bn?1＝(an+1)n，
]∴4b1+b2+…+bn?n=（2ⁿ）ⁿ=(2)n2，
∴2（b₁+b₂+…+b_n）-2n=n²，
∴b₁+b₂+…+b_n=

n2

2

+ n．