Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C，的对边，且cosBcosC＝?b2a+c．（1）求角B的大小．（2）在△ABC中，

在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C，的对边，且cosBcosC＝?b2a+c．（1）求角B的大小．（2）在△ABC中，作角B的角平分线，交AC于D，求证1AB+1CB=1BD．

Answer 1

（1）利用正弦定理化简已知的等式得：

cosB

cosC

＝?

sinB

2sinA+sinC

，
整理得：2sinAcosB+sinCcosB=-sinBcosC，
即2sinAcosB=-（sinBcosC+cosBsinC）=-sin（B+C），
又sin（B+C）=sin（π-A）=sinA，
∴2sinAcosB=-sinA，又sinA≠0，
∴cosB=-

1

2

，又B为三角形的内角，
则B=120°；
（2）根据题意画出图形，如图所示：

∵∠ABC=120°，BD为角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=60°，
又DE∥AB，
∴∠BDE=∠ABD=60°，
∴∠CBD=∠BDE=60°，
∴△BDE为等边三角形，
∴BD=BE=DE，
又DE∥AB，
∴

CE

BE

=

CD

AD

，即

BC?BE

BE

=

CD

AD

，
即

BC?BD

BD

=

CD

AD

，
又BD为角平分线，可得

BC

AB

=

CD

AD

，
∴

BC?BD

BD

=

BC

BD

-1=

BC

AB

，
则两边同时除以BC得：

BC

BD

?

1

CB

-

1

CB

=

BC

AB

?

1

CB

，
则

1

BD

-

1

CB

=

1

AB

，即

1

AB

+

1

CB

=

1

BD

．