Question

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝?b2a+c．（1）求角B的大小；（2）若b=3，a+c=4，

在△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝?b2a+c．（1）求角B的大小；（2）若b=3，a+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵△ABC中，a，b，c分别是角A、B、C的对边，
∴

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝2R．
∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsnC．
∵

cosB

cosC

＝?

b

2a+c

，
∴

cosB

cosC

＝?

sinB

2sinA+sinC

，
∴-sinBcosC=2sinAcosB+cosBsinC，
∴2sinAcosB=-（sinBcosC+cosBsinC），
∴2sinAcosB=-sin（B+C）．
∵B+C=π-A，
∴2sinAcosB=-sinA．
∵0＜A＜π，
∴sinA＞0．
∴cosB=-

1

2

，
∵0＜B＜π，
∴B=

2

3

π．
（2）在△ABC中，b²=a²+c²-2accosB，
∵B=

2

3

π，b=

3

，
∴a²+c²+ac=3．
∴（a+c）²-ac=3，
∵a+c=4，
∴ac=13．
∴S△ABC＝

1

2

acsinB＝

1

2

×13×

3

2

＝

13 3

4

．
∴△ABC的面积为

13 3

4

．