Question

已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且函数f（x+1）=f（x）+x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）

已知f（x）是二次函数，若f（0）=0，且函数f（x+1）=f（x）+x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）求f（x）在x∈[-1，2]时的值域．

Answer 1

（1）设f（x）=ax²+bx+c，f（0）=0，则c=0，

由题意得：

f(x+1)＝ax2+(2a+b)x+a+b f(x)+x+1＝ax2+(b+1)x+1

，
∴

2a+b＝b+1 a+b＝1

，解得：

a＝ 1 2 b＝ 1 2

，
∴f（x）=

1

2

x²+

1

2

x；
（2）f（x）=

1

2

(x+

1

2

)2-

1

8

，x∈[-1，2]，最小值为f（-

1

2

）=-

1

8

，
最大值为f（2）=3，
∴值域是[-

1

8

，3]．